TRASLACIONES EN EL PLANO CARTESIANO DE FIGURAS GEOMÉTRICAS EMPLEANDO UN VECTOR DADO EN COORDENADAS POLARES

En esta entrada aprenderemos a trasladar figuras geométricas ubicadas en el plano cartesiano mediante instrumentos y en forma analítica cuando su vector de traslación está dado en coordenadas polares V (r, ϴ).

Traslaciones mediante instrumentos

Se empleará el siguiente ejemplo para mostrar como se traslada una figura geométrica ubicada en el plano cartesiano empleando regla y transportador.

Ejemplo 1

Trasladar el polígono cuyos vértices son los puntos A(-3, 3), B(4, 5) y C(2, -3) empleando el vector V(5, - 40^o).

Solución:

La imagen siguiente muestra el polígono que nos piden trasladar

El ángulo del vector se dibuja empleando una línea horizontal (paralela al eje de las x), nombrando el punto de origen del ángulo con la letra O y trazando un ángulo de 40º en sentido horario (ángulo negativo).

A partir del origen y con el ángulo formado trazamos el vector de 5 unidades

Borramos la línea horizontal y la etiqueta O del origen y nos queda el vector V(5,-40^o)

Ahora ya podemos trasladar el polígono empleando el juego de geometría como lo vimos en los videos de la entrada traslación geométrica de este blog. Si deseas puedes volver a visualizar los videos yendo a la entrada mencionada haciendo clic en:

Traslacióngeométrica

El resultado de la traslación es:

Prueba a realizar la traslación construyendo el vector en cada vértice y después une las puntas de los vectores (vértices trasladados) y de esta forma se obtendrá el polígono trasladado.

Traslaciones en forma analítica

Para ilustrar la traslación de un polígono ubicado en el plano cartesiano mediante un vector dado en coordenadas polares se empleará el mismo polígono y vector del ejercicio que trabajamos en la sección anterior.

Para iniciar debemos expresar el vector dado en coordenada polares en coordenadas cartesianas. Las expresiones de conversión se obtienen a partir de un triángulo rectángulo que se forma con los datos del vector (magnitud y ángulo). Dibujemos un vector cualquiera:

Tomando como base el vector (V) construimos un triángulo rectángulo:

Llamemos “r” a la hipotenusa (magnitud del vector), “x” al cateto adyacente e “y” al cateto opuesto, quedándonos el triángulo de la siguiente forma:

La siguiente imagen muestra los elementos de la traslación:

Ejercicios

Realiza instrumental y analíticamente los siguientes ejercicios:

Ejercicio 1

Trasladar el polígono formado por los puntos A(-2, 2), B(1, 4), C(5, 0) y D(0, - 3) conforme al vector (4, 120^o). Incluir gráficos y cálculos.

Ejercicio 2

Trasladar conforme al vector (6, - 150^o) el polígono formado por los puntos A(0,0), B(-4, 5), C(3, 3),  D(6, 1) y E(-3, -4)

Ejercicio 3

Empleando el vector (4, 80º), trasladar el polígono de la imagen siguiente:

Ejercicio 4

Trasladar el triángulo formado por los puntos A(-1, -2), B(2, 4) y C(5, 1) empleando el vector V(8, 310^o).

Ejercicio 5

Trasladar el polígono formado por los puntos A(- 2, 0), B(- 4, 4), C(5, 5), D(1, 2) y E(4, -2) mediante un vector de magnitud 8 y cuya dirección está dada por un ángulo de - 200º.

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